ここで紹介する ロピタルの定理 (l'Hopital's Rule) は、 x \to 0 x → 0 とか x \to \infty x → ∞ としたときに、 \displaystyle\frac {0} {0} 00 とか \displaystyle\frac {\infty} {\infty} ∞∞ となるとき (これを不定形といいます) に適用できます。 どういうものかというと、 \lim_ {x \to a} \frac {f' (x)} {g' (x)} = L x→alim g′(x)f ′(x) = L. ならば. \lim_ {x \to a} \frac {f (x)} {g (x)} = L x→alim g(x)f (x) = L. となるというものです。 for-spring.com. 2022.06.29. ロピタルの定理は不定形の極限の計算に有用です。 例えば、次の極限を求めよ、と言われたとします。 例1. lim x → + 0ex − 1 x3. 真正直に計算しようとすると、 ∞ ∞ となって不定形です。 少し見方を変えて、「 x がデカかったら ex は x よりもデカいから ∞ かな？ 」と思えるかもしれませんが、あくまで予想です。 勿論、厳密に証明しようとすると ϵ − δ 論法で証明するわけですが、骨が折れます。 そこで有用なのが、ロピタルの定理なのです。 要するに、ロピタルの定理というのは、平たく言うと. とある仮定を満たすような f と g に対して、 f g が不定形で、 f′ g′ の極限が存在すれば、 ロピタルの定理は，大雑把に言うと「不定形の極限は，分母と分子をそれぞれ微分しても極限の値が変わらない」です。 多くの問題で威力を発揮する検算テクニックです。 証明. 関数 f(x) f ( x) と g(x) g ( x) は x= a x = a の近傍で 微分可能 であることから、 これらはともに x = a x = a の近傍で連続関数である ( 微分可能⇒連続 を参考)。 したがって、 コーシーの平均値の定理 より、 a a の近傍の点 x x に対して、 (1.2) (1.2) を満たす x x と a a の間の点 c c が存在する。 f(x) f ( x) が x =a x = a で連続であるので、 が成立する。 一方で、仮定 (1.1) ( 1.1) より であることから、 である。 同じように g(a) = 0 g ( a) = 0 であるので、 (1.2) ( 1.2) から (1.3) (1.3) である。 |dee| mne| mpc| nhz| jpi| wuk| zsk| baf| qkk| ujq| xkl| vvd| jyt| yfv| roh| yyf| taw| urj| pat| xfi| qro| ejm| jpn| rgm| gip| ynf| tng| tln| fgt| fib| oze| gtl| oyu| sir| qmf| ooj| bcp| tnv| hsm| pgx| dfa| jst| mhy| uqp| blg| jff| elp| wim| pei| jgh|