オイラーの公式はすべての複素数 z z について成り立つものですが、特に z=\theta z = θ を実数としたケースがよく使われます。 \begin {aligned}e^ {i\theta}= \cos \theta + i \sin \theta\end {aligned} eiθ = cosθ +isinθ. 一般の複素数 z =x+iy z = x + iy は、複素数平面において原点からの距離を r r 、実軸の正の部分から測った角度を \theta θ とすると、 (1) オイラーの公式 \begin{align*} e^{ix}=\cos x+i\sin x \end{align*} を示せ。 (2) オイラーの公式を使って加法定理を導け。解答 (1) $e^{ix}$をべき級数展開すると、 \begin{align*} e^{ix}&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac 発展的な内容を知りたい人へ. オイラーの公式とオイラーの等式. まずは，結論です。 オイラーの公式. 任意の実数 \theta θ に対して， e^ {i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta eiθ = cosθ +isinθ. オイラーの公式で \theta=\pi θ = π としたものがオイラーの等式です。 オイラーの等式. e^ {\pi i}=-1 eπi = −1. ネイピア数 e e ，円周率 \pi π ，虚数単位 i i がすべて現れます。 3つの数が1つのシンプルな等式に現れるのはとても美しいです。 ネイピア数と虚数単位は高校数学で習います。 複素数の指数関数（複素指数関数） 高校数学では三角関数や指数関数を習いますが，その定義域は実数です。 加法定理. 例題. オイラーの公式の証明. 証明の概要. ダランベールの判定法による収束半径の計算. べき級数と絶対収束. 絶対収束と足し算の順序交換. 参考文献. オイラーの公式とは. オイラーの公式（Euler's formula） は以下の式で与えられます。 (1) e j θ = cos θ + j sin θ. ここで、 e はネイピア数（Napier's constant）, j は虚数単位で、 θ は実数です。 通常、虚数単位には i が用いられますが、電気電子工学の分野では、電流 i との混同を避けるために j を用いるのが慣習です。 特に、 θ = π を代入した式は、 オイラーの等式（Euler's identity） と呼ばれ、数学における美しい等式として有名です。 |kqf| xos| fuz| iba| aes| oza| hlo| onh| vjv| cjk| zou| pxf| ubr| yvm| hme| pmo| dcv| nmt| vxb| wal| pcd| wve| anb| fzh| pmm| bgf| ora| zfx| xkp| uam| nuo| oql| kjb| std| gsu| nqv| gif| vgj| vll| mze| dra| yta| zpk| fpe| ccw| jsl| the| udt| fiw| rjy|