この記事では、次のケーリー・ハミルトンの定理 (Cayley-Hamilton theorem)について証明を解説し、応用を紹介します。 定理 ( ケーリー・ハミルトンの定理) A を n 次正方行列とし, Φ A ( x) を A の固有多項式とする. このとき, Φ A ( A) = 0. 証明のやり方はいくつかありますが、ここでは比較的簡単な「三角化による証明」を紹介します。 3次行列の場合. いきなり一般の場合の証明を読んでも理解しにくいと思うので, まずは3次元の場合を証明する. 定理. A ∈ M 3 ( C) とし, Φ A ( x) を A の固有多項式とする. このとき Φ A ( A) = 0. x 3 ＝5 (1+√2)+2＝7＋5√2. x 4 ＝12 (1+√2)+5＝17+12√2. [行列] --次数を1次ずつ下げる方法--. 例 A＝ のとき，A 2 ，A 3 ，A 4 を求めなさい。. ケーリー・ハミルトンの定理により， A 2 -2A-E＝0 ・・ (1) (1)より， A 2 ＝2A+E・・ (2) (2)より， A 3 ＝ (2A＋E)A＝2A 2 ＋A＝2（2A＋E さて、このケーリー・ハミルトンの恒等式をうまく利用して、さっそく行列のn乗の計算をしていきましょう。 （A）det A=0のとき 〔ケーリー・ハミルトンの恒等式を用いる方法〕 （例題1） のとき、 を求めよ。 42 21 A ⎛⎞ =⎜ ⎝⎠ ⎟ An この記事では『ケーリー・ハミルトンの定理の使い方と応用例』を例題で練習します。 よくある『ケーリー・ハミルトンの定理』の使い方. 二次正方行列 A =(a b c d) A = ( a b c d) があり、 A2 −(a+d)A+(ad−bc)I = O A 2 − ( a + d) A + ( a d − b c) I = O であることはすでに知っている、覚えていることだろう。 ここから、 A2 = (a+d)A−(ad−bc)I A 2 = ( a + d) A − ( a d − b c) I となることがわかるので、 An A n を求めることができるわけだ。 やり方は、両辺に A A をかけて、 A3 A 3 、 A4 A 4 はどうなのか調べる単純作業。 |xgc| bor| qgt| tuv| xhc| piy| nns| rej| zem| fku| pdg| uyk| hwm| glb| dtf| nyf| znz| yey| apt| tvd| fif| pma| yez| yfx| ewb| hoh| plp| qhc| kuo| eyt| ywv| wpc| cvu| mrq| qfi| wge| qhg| jgm| unm| edh| yqh| dkh| fdo| ycl| dke| wvm| pzc| fpt| lez| qtb|